一元多项式环的概念与运算

定义

  • Definition 1：数域K上的一元多项式，如下形式：
    $$
    f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
    $$

    • 零多项式：系数全为0的多项式
    • $f(x)$的次数：系数不为0的最高次数的那项的次数，记作$deg\ f(x)$

  • 数域K上所有一元多项式组成的集合记作$K[x]$

一元多项式的和与积的次数公式

  • Proposition 1：

$$
deg(f(x) \pm g(x)) \leq max{deg\ f(x), deg\ g(x)} \
deg(f(x)g(x)) = deg\ f(x)+deg\ g(x)
$$

环的基本概念

环的定义

  • Definition 2:
    • 1个非空集合R
    • 2个代数运算：加法、乘法
    • 6条要满足的运算法则：
      • 加法结合律
      • 加法交换律
      • 乘法结合律
      • 乘法对于加法的左右分配律
      • R中有零元
      • R中有负元
  • 一些常见的环
    • $\mathbf{Z}$：整数环
    • $2\mathbf{Z}$：偶数环
    • $K[x]$：数域K上一元多项式环
    • $M_n[x]$：数域K上n级全矩阵环
  • 特殊类型的环
    • 交换环：R满足乘法交换律
    • 有单位元的环：R中有元素e使得其他任何元素乘以e等于本身，单位元常常记作1
    • 无零因子环：
      • 零因子：包含左零因子和右零因子。既是左零因子，又是右零因子的零因子是平凡的零因子；其余为非零因子
      • 无零因子环：R没有非平凡的零因子
    • 整环：有单位元1+无零因子+交换环=整环
      • $\mathbf{Z}$、K、$K[x]$
      • $M_n[K]$不是，因为不是交换环，有非平凡零因子
      • 2$\mathbf{Z}$不是，没有单位元

子环

  • Definition 3：

    如果环R的一个非空子集$R_1$是子环，那么R的加法和乘法也成为一个环，那么称$R_1$是R的一个子环

  • Proposition 2：

    环R的一个非空子集$R_1$是子环的充分必要条件：$R_1$对于R的减法和乘法都封闭

  • 扩环：设R是有单位元1’的交换环，如果R有一个子环$R_1$满足：

    • $1’ \in R_1$
    • 数域K到$R_1$有一个双射$\tau$，且$\tau$保持加法与乘法运算

    那么R可以看成是K的一个扩环

一元多项式环K[x]的通用性质

习题7.1

  • Q1

    不一定，应该是小于等于

  • Q2

    零因子0：a0=0a=0

    单位元1：a1=1a=a

    假设可逆元为c：ac=ca=1

    如果可逆元是零因子，会矛盾，0不等于1