集合基本知识

集合间的直积

  • 集合A和B的直积：$A\times B={(a,b)\ |\ a\in A,\ b\in B}$
  • 可以扩展到多个集合的直积

集合之间的映射

  • 集合之间的映射：

    • 集合A到集合B的映射f，可以将A中的任意元素a对应到B中唯一的元素，这个元素叫做a在映射f之下的象f(a)

      映射f可以表示成：$A\stackrel{f}{\longrightarrow}B$

  • 合成映射：

    • $f:A{\longrightarrow}B$
    • $g:B{\longrightarrow}C$
    • 可以得到A到C的映射：$g\circ f_{:}A\rightarrow C,\quad(g\circ f),(a)=g(f(a))$
    • 合成映射满足结合律：$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

  • 对于$f:A{\longrightarrow}B$

    • 满射：B中每个元素在A中都有原象
    • 单射：A中不同元素对应B中不同元素
    • 一一映射：单射+满射

  • 集合的恒等映射

    • $1_{A},\colon A\to A,,,,,1_{A}(a)= a$
    • $f:A{\longrightarrow}B$是一一对应的充分必要条件：存在映射$g:B{\longrightarrow}A$，使得$f\circ g = 1_B, g\circ f = 1_A$

集合上的关系

  • $A\times A$是一个集合，这个集合的每个子集R都是集合A上的一个关系

  • 如果$(a, b) \in R$，就说a和b有关系R，写作：aRb

  • 集合上的等价关系是指满足下面3个条件的关系：

    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性

  • A中与a等价的所有元素构成的集合[a]叫做a所在的等价类

    $[a]=,{ b\in A\ |\ b\sim a,}$

  • 集合A对于等价关系$\sim$的完全代表系：

    • 首先集合A是一些等价类的并，这些等价类两两不相交
    • 然后我们从每个等价类中取出一个“代表元素”，这些元素组成的集合叫做完全代表系

  • 集合A的分拆：

    • 把集合A划分成一些两两不相交的子集，这些子集组成的集合就是集合A的一个分拆

    • 所以说，集合A的每个等价关系都给出了集合A的一个分拆

    • 同样地，集合A的一个分拆也定义了A上的一个等价关系：

      对于$a,b \in A$，如果a和b在同一个子集$A_i$中，那么a和b等价

    • E：A的全部等价关系

      P：A的全部分拆

      映射$f:E{\longrightarrow}P$，是一一映射

集合之间的等势

假设有一个集合F，它是集合的集合，我们定义一个F上的等价关系：

F中的两个元素A和B，也是两个集合；集合A与B等价，意味着，存在从集合A到集合B的一一映射。

这样等价的两个有限集合，我们会说他们等势。

  • 与正整数集合N等势的集合叫做可数无限集合，其余都是不可数集合
  • 实数集合R：不可数集合
  • 正偶整数的集合E：可数无限集合

集合上的二元运算

从$A \times A$到A的映射：$f\colon A\times A\to A$叫做集合A上的一个二元运算