半群

半群定义

  • 集合S和S上满足结合律的二元运算 $\cdot$ 所形成的代数结构叫做半群。这个半群记作：$(S, \cdot)$或者S。运算$x \cdot y$也可以简写为$xy$
  • 当运算 $\cdot$ 还满足交换律的时候，那么$(S, \cdot)$叫做交换半群

半群的幺元素

  • 定义：设S是半群,元素$e \in S$叫做半群S的元素，是指对每个$x \in S$，$xe=ex=x$
  • 半群的幺元素唯一，通常记作$1_S$, 或者$1$
  • 有幺元素的半群叫做含幺半群

逆元素

  • 定义：设S是含幺半群，元素$y \in S$叫做元素$x \in S$的逆元素，是指 $xy=yx=1$.
  • 某元素的逆元素是唯一的

由半群定义群

  • 定义：半群G如果有幺元素，并且每个元素均可逆，则G叫做群。此外，若运算又满足交换律，则G叫做交换群或叫阿贝耳(Abel)群

半群和群的一些例子

矩阵

  • $M_{m,n}(C)$是全体mxn的复矩阵组成的集合。对于矩阵加法，它形成阿贝尔群
  • $M_{n}(C)$是全体nxn的复矩阵组成的集合。对于乘法形成含幺半群，但是每个元素不一定有逆元素，所以不是群

映射

  • 设A是非空集合,以$\Sigma (A)$表示从A到A 全体映射组成的集合。则$\Sigma (A)$对于映射合成运算形成含幺半群，幺元素为 A上恒等映射$1_A$.由11的引理2可知，$\Sigma (A)$中映射f可逆的充要条件是$f$为一一对应。所以当|A|>1时，$\Sigma (A)$不是群,并且半群$\Sigma (A)$不是交换的

相关定理

设(M，·)是含幺半群,我们以U(M)或者M* 表示半群M中可逆元素全体

  • 定理1：若(M，·)是含么半群,则(U(M)，·)是群

    注：我们用U(M)或者M表示半群M中可逆元素全体*

  • 设A为非空集合，A到自身智商的所有一一对应对于合成运算形成群，叫做集合A上的对称群或全置换群，表示成S(A)。其中元素叫做集合A上的置换

  • 当G是群的时候，如果集合G有限，那么G为有限群；否则为无限群。G为有限群且有n个元素的话，那么G叫做n阶群或者n元群，n=|G|叫做有限群G的阶

同态与同构

  • 设$(G,\ \cdot)$和$(G^{\prime},\circ)$是两个群。映射$f_{:}G\rightarrow G^{\prime}$叫做群G到$G^{\prime}$的同态，是指对于$a, b \in G$，有$f(a\cdot b),=,f(a),\circ,f(b)$
    • f为单射：f是单同态
    • f为满射：f为满同态
    • f为一一对应：$f_{:}G\rightarrow G^{\prime}$叫做群G到$G^{\prime}$的同构，也说群G到$G^{\prime}$是同构的。可以记作：$G{\underline}G^{\prime}$或者$f:G\stackrel{\sim}{\rightarrow} G^{\prime}$。在群论中，会把同构的群认为本质上是同一个群

自我补充

群的定义

由于书上的定义从半群出发，所以不是很明确，我还是重新在网上找了一个广泛流行的定义：

半群的定义：

集合S和其上的二元运算·:S×S→S。若·满足结合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称有序对(S,·)为半群，运算·称为该半群的乘法。

习题答案

http://jianhang.work/2014/09/08/2014/09/jinshidaishuyinlun112/